TY - JOUR ID - TI - Interpretation of the q-Deformed 1-D Quantum Harmonic Oscillator AU - A. S. Mahmood AU - M. A. Z. Habeeb PY - 2016 VL - 19 IS - 3 SP - 53 EP - 69 JO - Al-Nahrain Journal of Science مجلة النهرين للعلوم SN - 26635453 26635461 AB - The interpretation of the q-deformed 1-D quantum harmonic oscillator is investigated for two definitions of q-deformation. This investigation is achieved by using Zaslavskii’s method to obtain the Heisenberg equations of motion (quantum Liouville equations) in the undeformed phase space. These quantum Liouville equations exhibit a non-commutative geometry produce from the existence of the dilatation operator which is inherent in the q-deformation process. The classical limits of these equations are obtained by applying a special classical limiting condition to produce the classical Liouville equations of the q-deformed oscillator. These classical Liouville equations are solved by using the method of characteristics in order to obtain the classical probability distribution functions for this system. The 2-D and 3-D behaviors of these functions were then investigated using a computer visualization method. The results of the mathematical derivations together with the computer visualization method show that the classical limit of the quantum Liouville equations for the q-deformed 1-D quantum harmonic oscillator are statistical in nature where the nonlinearity parameter for the q-deformed oscillator is connected with . This result conforms to that obtained by Ghosh et al. for the undeformed 1-D quantum harmonic oscillator. The obtained classical probability distribution functions exhibit whorl shapes that evolve with time in phase space that are similar to the shapes obtained for the 1-D classical q-deformed oscillator. These whorl shapes in phase space are similar to those introduced by Milburn for the 1-D classical anharmonic oscillator. This similarity results from the fact that the anharmonicity itself represents a kind of deformation with a frequency that is a function of amplitude.

تم تقصي التفسير الفيزيائي للتشوه من نوع “q” في المتذبذب التوافقي الكمي ذي البعد الواحد لحالتين من تعريف التشوه. تمت هذه العملية بأستخدام طريقة (Zaslavskii’s) لغرض الحصول على معادلات الحركة لهايزينبيرك (معادلات ليوفل الكمية) بدلالة التمثيل غير المشوه لفضاء الطور. أظهرت معادلات ليوفل الكمية هذه هندسة ذات طبيعــة لاتبادليـــــة ناتجـــــة عـــن وجــــود مؤثـــــر التمــــدد(Dilatation Operator) والذي يكون متأصل في التشوه “q”. تم أيضا الحصول على الغاية الكلاسيكية لمعادلات ليوفل الكمية بواسطة تطبيق شروط حدودية معينة لهذه المعادلات للحصول على معادلات ليوفل الكلاسيكية للمتذبذب ذي التشوه من النوع “q”. تم حل معادلات ليوفل الكلاسيكية هذه بأستخدام طريقة الخصائص للحصول على دوال توزيع الأحتمالية الكلاسيكية لهذا النظام, ثم تقصي السلوك ثنائي البعد وثلاثي البعد لهذه الدوال بأستخدام طريقة حاسوبية مرئية، حيث تم بناء برنامج حاسوبي لهذا الغرض باستخدام حزمة برمجيات Mathematica®. كشفت النتائج بأن الغاية الكلاسيكية لمعادلات ليوفل الكمية للمتذبذب التوافقي الكمي ذي التشوه من النوع “q” في البعد الواحد هي ذات طبيعة أحصائية. هذه النتيجة تتوافق مع النتيجة التي حصل عليها (Ghosh et al.) للمتذبذب التوافقي الكمي غير المشوه ذي البعد الواحد حيث يرتبط معامل اللاخطية للمتذبذب المشوه من النوع “q” بالثابت . أظهر السلوك المستحصل لدالة توزيع الأحتمالية الكلاسيكية اشكال لولبية تتطور مع الزمن في فضاء الطور مشابهة لتلك الاشكال المقدمة من قبل (Milburn) للمتذبذب اللاتوافقي الكلاسيكي ذي البعد الواحد. هذا التشابه ناتج من الحقيقة التي تنص على أن اللاتوافقية نفسها تمثل نوع من أنواع التشوه حيث التردد دالة للسعة. ER -