TY - JOUR ID - TI - Effect of Tapered Thickness on the Logitudinal Free Vibrations of Cantilever Beam AU - Nawal H. Al – Raheimy PY - 2013 VL - 21 IS - 3 SP - 852 EP - 865 JO - Journal of University of Babylon مجلة جامعة بابل SN - 19920652 23128135 AB - This paper deals with free longitudinal vibrations of nonuniform homogeneous cantilever beams. Cantilever of rectangular cross-section with constant width and tapered thickness variation are considered. Thickness at the clamped end is estimated while it changed with different values at free end at the ratio equal to the relation (thickness at free end hf / thickness at clamped end hc) where this ratio change from 0.05 to 0.9. The exact solution of differential equation in the linear case of free axial vibrations of nonuniform beam by using the analytic method by separation of variable in terms of Bessel function. Effect of thickness ratio between free end to clamped end (hf / hc) for different value of thickness of cantilever at clamped end and effect of different value of beam length on the characteristics of vibration ( natural frequency and mode shape) are studied. Some of results are compared with approximation method which called Raylieghs quotient. It is concluded that increasing the thickness of clamped end causes decrease in the natural frequency at any value of length of beam also increasing the thickness ratio and increasing the length of beam at assisted value of thickness at clamped end ( hc) causing decreased in the value of natural frequency. On the other hand it is found that the value of mode shape of cantilever beam decrease when increase the thickness ratio (hf / hc) at any value of thickness of clamped end and at the same value of length of beam also the mode shape decreased with increasing thickness of clamped end (hc). Finally at the same value of (hc) the value of mode shape decreased with increasing length of beam..

يتناول هذا البحث دراسة الاهتزازات الحرة الطولية للدعامة الناتئة المثبتة من طرف واحد والتي تكون غير منتظمة التجانس. تم اعتبار الدعامة ذات مقطع مستطيل عند عرض ثابت وسمك يتغير بشكل متدرج, حيث تم تقدير قيمة السمك عند الطرف المثبت بينما السمك عند الطرف الحر يتغير عند النسبة المساوية للعلاقة ( السمك عند الطرف الحرhf السمك عند الطرف المثبت hc) حيث انه هذه النسبة تتغير من 0.05 إلى 0.9 . الحل المضبوط للمعادلة التفاضلية في الحالة الخطية للاهتزازات الحرة المحورية للدعامة الغير منتظمة تمت بواسطة استخدام الطريقة التحليلية والمتمثلة بفصل المتغيرات والوصول إلى المصطلحات الخاصة بمعادلة بسل. تم دراسة تأثير نسبة السمك مابين النهاية الحرة إلى النهاية المثبتة /hc) (hfلقيم مختلفة لسمك الدعامة عند النهاية المثبتة وتأثير قيم مختلفة لطول العتبة على خصائص الاهتزاز (التردد الطبيعي وشكل النسق) ولقد تم مقارنة بعض النتائج مع الطريقة التقريبية والتي تسمى حاصل رايلي. تم الاستنتاج من ذلك بأنه عند زيادة سمك العتبة عند الطرف المثبت يسبب تناقص بالتردد الطبيعي عند أي قيمة من طول العتبة وكذلك زيادة نسبة السمك وزيادة طول العتبة عند قيمة معينة للسمك عند الطرف المثبت) hc) يسبب تناقص في قيمة التردد الطبيعي. من جهة أخرى وجد بان قيمة شكل النسق للعتبة الناتئة يقل عندما تزداد نسبة السمك (hf / hc) عند أي قيمة لسمك الطرف المثبت وعند نفس قيمة طول العتبة وكذلك شكل النسق يقل مع زيادة السمك للطرف المثبت ) hc). أخيرا عن نفس قيمة ل) hc) فان قيمة النسق تقل مع زيادة طول العتبة. ER -