This study is concerned with the derivation of differential equation of motion for the free coupled vertical – torsional and lateral vibration of opened thin-walled curved beams. The curved beam to be considered in this study is of isotropic opened thin – walled (I) section with equal top and bottom flanges. The derivation depends on Hamilton's principle which required finding the potential and kinetic energy of the curved beam section due to internal stresses and all types of movements (Vertical,Torsional and Lateral) .The effect of restrained warping displacement is also considered in this study. Three differential equations are derived for vertical, torsional and lateral movement .and approximate solutions are developed by using the method of multiple scale via a perturbation technique. The resulting natural frequencies and modes for vertical , torsional and lateral movements are compared with those calculated by using finite element approach (STAAD Pro. 2007) and with the results other studies.

تعنى هذه الدراسة باشتقاق المعادلة التفاضلية للاهتزازات الحرة بالاتجاه العمودي والالتوائي والافقي (Vertical,Torsional and Lateral) للجسور المقوسة, وتختص هذه الدراسة بالجسور المقوسة التي تتكون من صفائح رقيقة تشكل مع بعضها بواسطة اللحام لتكون مقاطع مفتوحة بشكل الحرف (I).اعتمد مبدا هاملتون (Hamilton's principle) في اشتقاق المعادلات التفاضلية بصورة رئيسة وقد تطلب هذا احتساب الطاقة الكامنة والحركية المتولدة في مقطع الجسر المقوس نتيجة الاجهادات المتولدة فيه ونتيجة لجميع أنواع الحركة الناتجة عن الاهتزاز الحر , وقد أخذ بالاعتبار تأثيرتقييد الحركة الالتوائية للمقطع (Warping Displacement) في هذه الدراسة .توصل البحث الى اشتقاق ثلاث معادلات لاخطية للاهتزازات الحرة بالاتجاه ألعمودي و الالتوائي والأفقي وتم حل كل منها باستعمال طريفة(Perturbation Technique ) و قورنت النتائج التي تم التوصل إليها (الترددات الطبيعية والأطوار) بمثيلاتها في دراسات أخرى .

Thin-walled curved beams --- Free vibration --- Differential Equation of Motion