This paper demonstrates different analytic methods delivered by means of maple 13 algorithm for solving Volterra Integral Equation (VIE) .Three illustrative examples are given to study the differences between analytic and numerical solutions analyzing various affects on such differences.

VIE --- Analytic solutions --- Numerical solutions --- Rao-Transform --- RT --- Maple 13 software --- Initial Value Problem --- IVP.

The problem of frequency estimation of a single sinusoid observed in colored noise is addressed. Our estimator is based on the operation of the sinusoidal digital phase-locked loop (SDPLL) which carries the frequency information in its phase error after the noisy sinusoid has been acquired by the SDPLL. We show by computer simulations that this frequency estimator beats the Cramer-Rao bound (CRB) on the frequency error variance for moderate and high SNRs when the colored noise has a general low-pass filtered (LPF) characteristic, thereby outperforming, in terms of frequency error variance, several existing techniques some of which are, in addition, computationally demanding. Moreover, the present approach generalizes on existing work that addresses different methods of sinusoid frequency estimation involving specific colored noise models such as the moving average (MA) noise model. An insightful theoretical analysis is presented to support the practical findings.

هذا البحث يتناول مشكلة تقدير التردد للموجة الجيبية المفردة في وجود الضوضاء الملونة. ان المقدر المتبع يرتكز على عمل حلقة اقفال الطور الرقمية الجيبية التي تحمل معلومات التردد داخل خطأ الطور بعد الحصول على الموجة الجيبية المشوبة بالضوضاء بواسطة حلقة اقفال الطور. وضحنا عن طريق برنامج محاكاة بالحاسبة ان مقدر التردد يتغلب على الحد الادنى لمحدد كريمر في خطأ التغير لنسب الاشارة-الى-الضوضاء المتوسطة والعالية عندما تكون خصائص الضوضاء الملونة تشبه الخصائص العامة لمرشح الترددات الوطئة ,وبذلك يتحسن الاداء, مقاسا بصيغة خطأ التغير بالتردد, عن عدة تقنيات موجودة والتي يتطلب قسم منها عبأ حسابيا عاليا. اضافة الى ذلك فان الطريقة الحالية يمكن اعتبارها تعميما للبحوث الحالية التي تتناول عدة طرق لتقدير التردد الجيبي تتضمن نماذج معينة للضوضاء الملونة مثل نموذج المعدل المتحرك للضوضاء. وتم تقديم تحليل نظري حدسي لدعم الننتائج العملية.

Sinusoidal digital phase-locked loop --- SDPLL --- Cramer-Rao bound --- CRB --- colored noise --- frequency error variance --- signal-to-noise ratio --- SNR. --- حلقة اقفال الطور الجيبية الرقمية؛ محدد كريمر؛ الضوضاء الملونة؛ خطأ التغير بالتردد؛ نسبة الاشارة –الى –الضوضاء.